Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程
在使用Fourier变换分析信号时候，有时需要用到能量积分。本文对Fourier变换的能量积分进行分析。
一、Fourier变换中的能量积分
若
F
(
ω
)
=
F
[
f
(
t
)
]
F(\omega)=\mathscr F[f(t)]
F(ω)=F[f(t)]，则有
∫
−
∞
+
∞
[
f
(
t
)
]
2
d
t
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
∣
F
(
ω
)
∣
2
d
ω
(1)
\int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega \tag1
∫−∞+∞[f(t)]2dt=2π1∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω(1) 该等式又称为Parseval等式。
二、证明Fourier变换中的能量积分(Parseval 等式)
证明： 根据Fourier变换的乘积定理的推论,令
f
1
(
t
)
=
f
2
(
t
)
=
f
(
t
)
f_1(t)=f_2(t)=f(t)
f1(t)=f2(t)=f(t),则
∫
−
∞
+
∞
[
f
(
t
)
]
2
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
ω
)
‾
F
(
ω
)
d
ω
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
∣
F
(
ω
)
∣
2
d
ω
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
S
(
ω
)
d
ω
\int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{f}(t)} } {f}(t){\rm{d}}t \\\\= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\overline {{F}(\omega )} } {F}(\omega ){\rm{d}}\omega\\\\= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega\\\\= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {S}(\omega ) {\rm{d}}\omega
∫−∞+∞[f(t)]2dt=∫−∞+∞f(t)f(t)dt=2π1∫−∞+∞F(ω)F(ω)dω=2π1∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω=2π1∫−∞+∞S(ω)dω 其中，
S
(
ω
)
=
∣
F
(
ω
)
∣
2
{S}(\omega )=|{F}(\omega )|^2
S(ω)=∣F(ω)∣2,并将
S
(
ω
)
{S}(\omega )
S(ω)称为能量密度函数（或称为能量谱密度）。 证毕. 注解：关于Fourier变换的乘积定理及其推论和证明过程（见本博主文章：链接: Fourier变换的乘积定理及其详细证明过程）.
能量密度函数
S
(
ω
)
{S}(\omega )
S(ω)决定了函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)的能量在频域的分布规律，将
S
(
ω
)
{S}(\omega )
S(ω)对所有频率积分就得到
f
(
t
)
f(t)
f(t)在时间域
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)范围的总能量
∫
−
∞
+
∞
[
f
(
t
)
]
2
d
t
\int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t
∫−∞+∞[f(t)]2dt。因此，Parseval等式又称为能量积分。 此外，还可知能量密度函数
S
(
ω
)
{S}(\omega )
S(ω)是一个偶函数，即
S
(
ω
)
=
S
(
−
ω
)
{S}(\omega )={S}(-\omega )
S(ω)=S(−ω).
三、能量积分（Parseval等式）特别注意事项
在
∫
−
∞
+
∞
[
f
(
t
)
]
2
d
t
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
∣
F
(
ω
)
∣
2
d
ω
\int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega
∫−∞+∞[f(t)]2dt=2π1∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω等式中，
∣
F
(
ω
)
∣
2
|{F}(\omega )|^2
∣F(ω)∣2表示对
F
(
ω
)
F(\omega)
F(ω)取模后再平方，而不能写成
[
F
(
ω
)
]
2
[{F}(\omega )]^2
[F(ω)]2,此处要特别留意该差别。能量密度函数
S
(
ω
)
{S}(\omega )
S(ω)是一个偶函数，即
S
(
ω
)
=
S
(
−
ω
)
{S}(\omega )={S}(-\omega )
S(ω)=S(−ω)，它不等于
f
(
t
)
f(t)
f(t)的傅里叶变换（即能量谱密度和频谱是两种不同的计算过程）；而是能量密度函数
S
(
ω
)
{S}(\omega )
S(ω)等于
f
(
t
)
f(t)
f(t)的傅里叶变换后取模再平方而得到。